Nosotros queremos derivar $f(x)=\sqrt{\left(x^{3}-2 x\right)^{\left(x^{2}-3\right)}}$. Primero, fijate que también la podemos escribir así: 

$f(x) = (x^3 - 2x)^{\frac{1}{2}(x^2 - 3)}$

1. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros: $ \ln(f(x)) = \ln\left((x^3 - 2x)^{\frac{1}{2}(x^2 - 3)}\right) $ 2. Usamos la propiedad de los logaritmos a la derecha: $ \ln(f(x)) = \frac{1}{2}(x^2 - 3) \cdot \ln(x^3 - 2x) $ 3. Derivamos ambos lados con respecto a \( x \): $ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \ln(x^3 - 2x) + \frac{1}{2} \cdot (x^2 - 3) \cdot \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x} $ Simplificamos: $ \frac{f'(x)}{f(x)} = x \ln(x^3 - 2x) + \frac{1}{2} \cdot (x^2 - 3) \cdot \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x} $ Por último, despejamos \( f'(x) \): $ f'(x) = \sqrt{(x^3 - 2x)^{(x^2 - 3)}} \cdot \left(x \ln(x^3 - 2x) + \frac{1}{2} \cdot (x^2 - 3) \cdot \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x}\right) $